2 MATRIKE

matrika

tabela števil razporejena v vrstice in stolpce

A = [aij] i = 1,…n, j = 1,.. m

simetrična matrika

A = A^T

definiraj zgornje trikotno matriko

vsota matrik

matriki morata biti enakih dimenzij, da ju lahko seštejemo

produkt matrik

zapiši lastnosti vsote in produkta s skalarjem matrik

zapiši lastnosti produkta matrik

Kaj je nevtralni element pri množenju matrik?

inverz matrike

je tudi enolično določen

inverz 2×2 matrike

inverz produkta matrik

A, B obrnljivi n*n:

(AB)^-1 = B^-1 A^-1

elementarne transformacije

vse € IF^m*m

1) I_ij : v identiteti zamenjamo i-to in j-to vrstico

2) E_ij(a) : na diagonali enke, na ij-tem mestu a

3) E_i(a) : na diagonali enke, na i-ti diagonali a

Elementarne transformacije na matriki A so enakovredne množenju z matrikami Ei z leve: A → E*A

uporaba: iskanje inverza, reševanje sistemov linearnih enačb, iskanje ranga

pivot

prvi neničelni element v vrstici iz leve

rang

število vseh pivotov v matriki, ki je v vrstično kanonični formi (=pod in nad pivoti so samo ničle, vsi pivoti = 1, ničelne vrstice so na dnu matrike, stopničasta oblika)

kako ocenimo rang matrike A velikosti mxn ?

rang A =< min{m,n}

zapiši izrek o vrstično kanonični formi

Vsaka matrika A je vrstično ekvivalentna matriki v vrstični kanonični formi. Pri tem je slednja matrika enolično določena z matriko A

sistemi linearnih enačb

Kdaj je sistem homogen?

Ax = b

A = matrika koecifientov, vektorja x = (x1, x2, …, xn)^T in b = (b1, b2, …bn)^T

sistem je homogen, ko je: Ax = 0

razširjena matrika sistema

Kaj se zgodi, ko sistem enačb Ax = b pomnožimo z E ?

rešitev homogenega sistema

kerA = {0} jedro matrike vsebuje samo ničelni vektor

izrek o rangu: Kronecker - Capelli

Kdaj je matrika obrnljiva?

A € IF^m*n, m >= n

rang A = n

kerA = {0}

detA ni 0

Kako poiščemo inverz?

inverz poiščemo z Gausovo eliminacijo na razširjeni matriki

jedro matrike

ker A = {Ax = 0: x € IFⁿ}

determinanta

število, ki ga priredimo KVADRATNI matriki, da razumemo kdaj je obrnljiva = ima inverz

permutacija, indeks, signatura

signatura

zapiši lemo o permutaciji, ki jo dobimo če zamenjamo sliki števil i in j

lastnosti determinante

(ij)-ti minor in kofaktor

razvoj determinante po i-ti vrstici/ stolpcu

multiplikativnost determinante

det(AB) = ???

det A * det B

det(A^-1) = ???