Matrices de Gram et Espaces Vectoriels

Vocabulaire essentiel sur les matrices de Gram, leurs propriétés de diagonalisabilité, leur lien avec la liberté des familles de vecteurs et les identités de normes dans R^n.

Matrice de Gram

Matrice $G \in M_p(\mathbb{R})$ d'une famille de vecteurs $(u_1, \dots, u_p)$ de $\mathbb{R}^n$ dont les coefficients sont définis par les produits scalaires $G_{i,j} = \langle u_i, u_j \rangle$.

Diagonalisabilité de la matrice de Gram

La matrice de Gram d'une famille de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ est diagonalisable car elle est symétrique réelle.

Condition d'inversibilité de la matrice de Gram

Une famille de vecteurs $(u_1, \dots, u_p)$ de $\mathbb{R}^n$ est libre si et seulement si sa matrice de Gram $G$ est inversible.

Développement de $\|a - b\|^2$

Pour tous $a, b \in \mathbb{R}^n$, la norme au carré de la différence s'exprime par $\|a\|^2 + \|b\|^2 - 2\langle a, b \rangle$.

Fonction Python ps

Fonction prenant en argument deux vecteurs $u$ et $v$ (listes de même taille) et renvoyant leur produit scalaire $\langle u, v \rangle$.

Fonction Python Gram

Fonction prenant en argument une famille de vecteurs $(u_1, \dots, u_p)$ sous forme de liste de listes et renvoyant la matrice de Gram correspondante.

Caractérisation d'une base par la matrice de Gram

Pour une famille $(v_1, \dots, v_n)$ de $\mathbb{R}^n$, si la matrice de Gram associée est inversible, alors la famille est libre et forme une base de $\mathbb{R}^n$.

Matrice $I_n$

Représente la matrice identité de taille $n$ utilisée dans les relations matricielles comme le calcul de $A^2$ en fonction de $n$, $A$ et $I_n$.

Relation entre $GX = 0$ et liberté

Si $G$ est inversible, alors l'équation $GX = 0$ implique $X = 0$, ce qui permet de déduire que la famille de vecteurs associés est libre.